Ιακωβιανός πίνακας των $$$\left\{x = 3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}, y = e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right\}$$$ και η ορίζουσά του
Η είσοδός σας
Υπολογίστε τον Ιακωβιανό πίνακα των $$$\left\{x = 3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}, y = e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right\}$$$.
Λύση
Ο Ιακωβιανός πίνακας ορίζεται ως εξής: $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].$$$
Στην περίπτωσή μας, $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right)\end{array}\right].$$$
Βρείτε τις παραγώγους (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου): $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} & 9 e^{- 4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\\4 e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)} & - 3 e^{4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\end{array}\right].$$$
Η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι η ορίζουσα της Ιακωβιανής μήτρας: $$$\left|\begin{array}{cc}- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} & 9 e^{- 4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\\4 e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)} & - 3 e^{4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\end{array}\right| = - 36 \cos{\left(6 \theta \right)}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής ορίζουσας).
Απάντηση
Ο Ιακωβιανός πίνακας είναι $$$\left[\begin{array}{cc}- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} & 9 e^{- 4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\\4 e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)} & - 3 e^{4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\end{array}\right]$$$A.
Η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι $$$- 36 \cos{\left(6 \theta \right)}$$$A.