No AI is used
  1. Αρχική
  2. Αριθμομηχανές
  3. Αριθμομηχανές: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ
  4. Αριθμομηχανή Μαθηματικού Λογισμού

Υπολογιστής Ιακωβιανού

Υπολογίστε τον Ιακωβιανό πίνακα βήμα προς βήμα

Η αριθμομηχανή θα υπολογίσει τον Ιακωβιανό πίνακα ενός συνόλου συναρτήσεων και την Ιακωβιανή ορίζουσα (αν είναι δυνατόν), με εμφανιζόμενα βήματα.

Διαχωρισμένα με κόμματα.
Αφήστε κενό για αυτόματη ανίχνευση ή ορίστε μεταβλητές όπως x,y (χωρισμένες με κόμμα).

Εάν η αριθμομηχανή δεν υπολόγισε κάτι ή έχετε εντοπίσει κάποιο σφάλμα, ή έχετε κάποια πρόταση/σχόλιο, παρακαλούμε επικοινωνήστε μαζί μας.

Η είσοδός σας

Υπολογίστε τον Ιακωβιανό πίνακα των $$$\left\{x = r \cos{\left(\theta \right)}, y = r \sin{\left(\theta \right)}\right\}$$$.

Λύση

Ο Ιακωβιανός πίνακας ορίζεται ως εξής: $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].$$$

Στην περίπτωσή μας, $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right)\end{array}\right].$$$

Βρείτε τις παραγώγους (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου): $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right].$$$

Η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι η ορίζουσα της Ιακωβιανής μήτρας: $$$\left|\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right| = r$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής ορίζουσας).

Απάντηση

Ο Ιακωβιανός πίνακας είναι $$$\left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right]$$$A.

Η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι $$$r$$$A.