No AI is used
  1. Αρχική
  2. Αριθμομηχανές
  3. Αριθμομηχανές: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ
  4. Αριθμομηχανή Μαθηματικού Λογισμού

Υπολογιστής Ιακωβιανού

Υπολογίστε τον Ιακωβιανό πίνακα βήμα προς βήμα

Η αριθμομηχανή θα υπολογίσει τον Ιακωβιανό πίνακα ενός συνόλου συναρτήσεων και την Ιακωβιανή ορίζουσα (αν είναι δυνατόν), με εμφανιζόμενα βήματα.

Διαχωρισμένα με κόμματα.
Αφήστε κενό για αυτόματη ανίχνευση ή ορίστε μεταβλητές όπως x,y (χωρισμένες με κόμμα).

Εάν η αριθμομηχανή δεν υπολόγισε κάτι ή έχετε εντοπίσει κάποιο σφάλμα, ή έχετε κάποια πρόταση/σχόλιο, παρακαλούμε επικοινωνήστε μαζί μας.

Η είσοδός σας

Υπολογίστε τον Ιακωβιανό πίνακα των $$$\left\{x = r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}, y = r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right\}$$$.

Λύση

Ο Ιακωβιανός πίνακας ορίζεται ως εξής: $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial r}\\\frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial r}\end{array}\right].$$$

Στην περίπτωσή μας, $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial \eta} \left(r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial \eta} \left(r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right)\end{array}\right].$$$

Βρείτε τις παραγώγους (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου): $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right].$$$

Η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι η ορίζουσα της Ιακωβιανής μήτρας: $$$\left|\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right| = - r \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής ορίζουσας).

Απάντηση

Ο Ιακωβιανός πίνακας είναι $$$\left[\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right].$$$A

Η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι $$$- r \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)}$$$A.