Απόκλιση του $$$\left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$

Υπολογίστε $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$.

Κατά τον ορισμό, $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$, ή, ισοδύναμα, $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$, όπου $$$\cdot$$$ είναι ο τελεστής εσωτερικού γινομένου.

Άρα, $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right).$$$

Βρείτε τη μερική παράγωγο της συνιστώσας 1 ως προς $$$x$$$: $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) = 2 x y$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου).

Βρείτε τη μερική παράγωγο της συνιστώσας 2 ως προς $$$y$$$: $$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) = x z$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου).

Βρείτε τη μερική παράγωγο της συνιστώσας 3 ως προς $$$z$$$: $$$\frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right) = 2 y z$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου).

Τώρα, απλώς αθροίστε τις παραπάνω εκφράσεις για να υπολογίσετε την απόκλιση: $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$

$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$A