Υπολογιστής Απόκλισης

Υπολογίστε $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$.

Κατά τον ορισμό, $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$, ή, ισοδύναμα, $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$, όπου $$$\cdot$$$ είναι ο τελεστής εσωτερικού γινομένου.

Άρα, $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{z}\right).$$$

Βρείτε τη μερική παράγωγο της συνιστώσας 1 ως προς $$$x$$$: $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου).

Βρείτε τη μερική παράγωγο της συνιστώσας 2 ως προς $$$y$$$: $$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου).

Βρείτε τη μερική παράγωγο της συνιστώσας 3 ως προς $$$z$$$: $$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{z}\right) = e^{z}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου).

Τώρα, απλώς αθροίστε τις παραπάνω εκφράσεις για να υπολογίσετε την απόκλιση: $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = - x \sin{\left(x y \right)} + y \cos{\left(x y \right)} + e^{z}$$$

$$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = - x \sin{\left(x y \right)} + y \cos{\left(x y \right)} + e^{z}$$$A