Ολοκλήρωμα του $$$\frac{u}{u^{2} + 4}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{u}{u^{2} + 4}\, du$$$.

Έστω $$$v=u^{2} + 4$$$.

Τότε $$$dv=\left(u^{2} + 4\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$u du = \frac{dv}{2}$$$.

Επομένως,

$${\color{red}{\int{\frac{u}{u^{2} + 4} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ με $$$c=\frac{1}{2}$$$ και $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{v}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

Θυμηθείτε ότι $$$v=u^{2} + 4$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 4\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{u}{u^{2} + 4} d u} = \frac{\ln{\left(u^{2} + 4 \right)}}{2}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{u}{u^{2} + 4} d u} = \frac{\ln{\left(u^{2} + 4 \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{u}{u^{2} + 4}\, du = \frac{\ln\left(u^{2} + 4\right)}{2} + C$$$A