Kovarianz zwischen $$$\left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}$$$ und $$$\left\{1, 3, 6, 5, 8\right\}$$$

Berechnen Sie die Stichprobenkovarianz zwischen $$$\left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}$$$ und $$$\left\{1, 3, 6, 5, 8\right\}$$$.

Die Stichprobenkovarianz der Daten ist durch die Formel $$$cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)}{n - 1}$$$ gegeben, wobei $$$n$$$ die Anzahl der Werte ist, $$$x_i, i=\overline{1..n}$$$ und $$$y_i, i=\overline{1..n}$$$ die Werte selbst sind, $$$\mu_{x}$$$ der Mittelwert der x-Werte ist und $$$\mu_{y}$$$ der Mittelwert der y-Werte ist.

Der Mittelwert der x-Werte ist $$$\mu_{x} = 3$$$ (zur Berechnung siehe Mittelwertrechner).

Der Mittelwert der y-Werte ist $$$\mu_{y} = \frac{23}{5}$$$ (zur Berechnung siehe Mittelwertrechner).

Da wir $$$n$$$ Punkte haben, gilt $$$n = 5$$$.

Die Summe von $$$\left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)$$$ ist $$$\left(1 - 3\right)\cdot \left(1 - \frac{23}{5}\right) + \left(2 - 3\right)\cdot \left(3 - \frac{23}{5}\right) + \left(3 - 3\right)\cdot \left(6 - \frac{23}{5}\right) + \left(4 - 3\right)\cdot \left(5 - \frac{23}{5}\right) + \left(5 - 3\right)\cdot \left(8 - \frac{23}{5}\right) = 16.$$$

Somit gilt $$$cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} \left(x_{i} - \mu_{x}\right)\cdot \left(y_{i} - \mu_{y}\right)}{n - 1} = \frac{16}{4} = 4$$$.

Die Stichprobenkovarianz ist $$$cov(x,y) = 4$$$A.