Kreuzprodukt von $$$\left\langle 4, 7, -13\right\rangle$$$ und $$$\left\langle -3, 2, 1\right\rangle$$$

Berechne $$$\left\langle 4, 7, -13\right\rangle\times \left\langle -3, 2, 1\right\rangle$$$.

Um das Kreuzprodukt zu berechnen, bilden wir eine formale Determinante, deren erste Zeile aus Einheitsvektoren besteht, die zweite Zeile unser erster Vektor ist und die dritte Zeile unser zweiter Vektor ist: $$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\4 & 7 & -13\\-3 & 2 & 1\end{array}\right|$$$

Nun entwickle einfach nach der ersten Zeile (für die Schritte zur Berechnung einer Determinante siehe determinant calculator):

$$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\4 & 7 & -13\\-3 & 2 & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}7 & -13\\2 & 1\end{array}\right| \mathbf{\vec{i}} - \left|\begin{array}{cc}4 & -13\\-3 & 1\end{array}\right| \mathbf{\vec{j}} + \left|\begin{array}{cc}4 & 7\\-3 & 2\end{array}\right| \mathbf{\vec{k}} = \left(\left(7\right)\cdot \left(1\right) - \left(-13\right)\cdot \left(2\right)\right) \mathbf{\vec{i}} - \left(\left(4\right)\cdot \left(1\right) - \left(-13\right)\cdot \left(-3\right)\right) \mathbf{\vec{j}} + \left(\left(4\right)\cdot \left(2\right) - \left(7\right)\cdot \left(-3\right)\right) \mathbf{\vec{k}} = 33 \mathbf{\vec{i}} + 35 \mathbf{\vec{j}} + 29 \mathbf{\vec{k}}$$$

Somit gilt $$$\left\langle 4, 7, -13\right\rangle\times \left\langle -3, 2, 1\right\rangle = \left\langle 33, 35, 29\right\rangle.$$$

$$$\left\langle 4, 7, -13\right\rangle\times \left\langle -3, 2, 1\right\rangle = \left\langle 33, 35, 29\right\rangle$$$A